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Méthode multipôle rapide pour les équations intégrales de frontière en élastodynamique 3-D : application à la propagation d'ondes sismiques

Chaillat, Stéphanie ; Bonnet, Marc (1960-....) ; Semblat, Jean-François

Marne la Vallée : Ecole nationale des ponts et chaussées, 2008

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  • Titre:
    Méthode multipôle rapide pour les équations intégrales de frontière en élastodynamique 3-D : application à la propagation d'ondes sismiques
  • Auteur: Chaillat, Stéphanie
  • Autre(s) auteur(s): Bonnet, Marc (1960-....);
    Semblat, Jean-François
  • Sujets: Ondes -- Propagation;
    Méthode multipôle rapide;
    Mécanique numérique;
    Amplification sismique;
    Elastodynamique;
    Méthode élément frontière;
    Solveur numérique
  • Description: Mines : Thèse en ligne sur Pastel
    Thèse de doctorat
    La propagation des ondes sismiques peut être simulée à l’aide de différentes méthodes numériques : méthode des éléments finis, méthode des différences finies, méthode des éléments spectraux, méthode des éléments de frontière (BEM, pour Boundary Element Method), ... Cette dernière présente l’avantage de ne nécessiter que la discrétisation de la frontière du domaine de calcul considéré. De plus, elle permet de simuler des milieux étendus en évitant la forte dispersion numérique associée à d’autres schémas. La BEM est donc bien adaptée pour le calcul de la propagation d’ondes sismiques. Le principal inconvénient de la formulation intégrale de frontière est qu’elle conduit à un système linéaire dont la matrice est pleine et non symétrique. Les solveurs adaptés à ce type de problèmes sont de deux types. D’une part, les solveurs directs, qui factorisent la matrice du système, ont une complexité de l’ordre de O(N3) en temps et O(N2) en mémoire (N étant le nombre de degrés de liberté). Ils sont donc inutilisables dès que N devient grand. D’autre part, les solveurs itératifs construisent une suite convergeant vers la solution. La complexité est alors de l’ordre de O(niter × N2) en temps et en mémoire. La contrainte de stockage en mémoire les rend difficiles à appliquer aux systèmes BEM de taille supérieure à O(104) inconnues. La résolution de problèmes réalistes en termes de géométrie, hétérogénéité, longueur d’onde ... est donc limitée par le nombre de degrés de liberté que peut traiter le solveur sur une machine donnée. De plus, comme l’analyse est menée dans le domaine fréquentiel, la taille des maillages est liée à la fréquence du problème. Le spectre des fréquences étudiées est donc aussi restreint par ces considérations. L’idée est alors d’appliquer une méthode d’accélération de l’évaluation des opérateurs intégraux, étape essentielle du calcul d’un produit matrice-vecteur utilisé par le solveur itératif (GMRES dans notre cas) afin de diminuer le temps CPU d’une itération mais aussi les besoins en stockage. Cette réorganisation du calcul est rendue possible par la méthode multipôle rapide (Fast Multipole Method ou FMM en anglais). Initialement développée pour les problèmes à N corps par Rokhlin et Greengard [102] dans les années 80, la méthode a ensuite été adaptée aux équations de l’électromagnétisme par Rokhlin [175] et Chew [198] . Actuellement, la FMM est appliquée dans de nombreux domaines [159] : astrophysique, mécanique des fluides, acoustique [158], ... Dans le domaine de l’élastodynamique, très peu de travaux ont été réalisés. On peut citer les travaux de Takahashi et al. [201, 202] dans le domaine temporel. Dans le domaine fréquentiel, la première étude en 2-D est due à Chen et al. [44]. En 3-D, on peut citer les travaux de Yoshida [213] où la méthode est appliquée à l’étude de la propagation de fissures et ceux de Fujiwara [90] où quelques applications sismiques basses fréquences sont présentées. Le but de cette thèse est de développer un solveur numérique efficace pour résoudre des problèmes de propagation d’ondes sismiques de grande taille. Dans ce but, une méthode BEM accélérée par la FMM est développée. Ce mémoire est découpé en deux parties précédées d’un chapitre introductif. La première partie est consacrée à la formulation et la mise en œuvre de la FMM pour les équations de l’élastodynamique 3-D. Dans la deuxième partie, ces méthodes sont appliquées à des problèmes sismiques, afin de montrer leurs capacités. PARTIE I : FORMULATION ET MISE EN OEUVRE DE LA FMM POUR LES ÉQUATIONS DE L’ÉLASTODYNAMIQUE 3-D Méthode multipôle rapide pour les équations de l’élastodynamique 3-D. Dans le Chapitre 2, la formulation de la FMM pour les équations de l’élastodynamique 3-D, ainsi que sa mise en œuvre et validation sont présentées. La présence du terme exp(ikr) r (fonction de Green pour l’équation de Helmholtz, pour l’espace infini) dans les tenseurs de Green de l’espace infini élastique (2.2a,b) (où k est le nombre d’onde et (x, y) un couple de points sur la frontière), permet de les reformuler en termes de développements en séries multipôles (2.13a,b, 2.14a,b), analogues à ceux connus en électromagnétisme [198]. Ainsi, les variables x et y de l’intégrale sont séparées. Il n’est plus nécessaire de recalculer les solutions élémentaires pour chaque couple de points sur la frontière de l’objet et, dans l’intégrale, il est possible de réutiliser les intégrations précédentes selon x. Les contributions mutuelles entre tous les points x et y sont ainsi réduites à quelques contributions entre paquets de points x et paquets lointains de points y (Figure 2.4). De plus, afin de diminuer le coût mémoire et le temps de calcul du produit matrice-vecteur, la matrice du système n’est jamais explicitement assemblée (contrairement à la méthode BEM classique). La FMM existe sous deux formes : simplifiée et complète. La première, mono-niveau, s’appuie sur un découpage en boîtes cubiques de la région de l’espace contenant la frontière du domaine, et permet de calculer le produit matrice-vecteur en O(N3/2) opérations. Dans la seconde, multi-niveaux, le découpage en boîtes cubiques est récursif, ce qui permet d’obtenir une complexité inférieure du calcul produit matrice-vecteur, de l’ordre de O(N log2 N). La méthode utilise plusieurs paramètres dont dépendent la rapidité et la précision du calcul (taille des cellules, nombre de niveaux de grilles, troncature de la série du développement multipôle, ...). Dans le cas de l’élastodynamique, les valeurs optimales pour obtenir un bon compromis entre efficacité et précision sont déterminées pour les approches mono et multi-niveaux dans la Section 2.4. Les complexités théoriques sont vérifiées numériquement dans la Section 2.5 (voir la Figure 2.18). Dans la Section 2.6, des tests sur des cas simples, dont la solution analytique est connue, valident la méthode et montrent sa précision. Ces calculs montrent encore que l’erreur introduite par la FMM par rapport à la BEM classique n’a pas d’incidence pratique sur la qualité du résultat. Pour terminer, cette approche permet, par exemple dans le cadre de la sismologie, de résoudre des problèmes plus réalistes et pour un spectre de fréquences plus large. Un des exemples proposés montre ainsi qu’il est possible d’étudier la propagation des ondes sismiques dans un canyon, sans restriction forte sur la taille du domaine discrétisé (y compris surface libre), pour des fréquences supérieures à celles habituellement utilisées pour ce type de calcul et ce avec une discrétisation fine sur tout le domaine. FM-BEM pour les problèmes multi-domaines. La méthode présentée dans le Chapitre 2 est limitée aux milieux homogènes car les solutions fondamentales utilisées sont celles de l’espace élastique infini. Or, pour étudier des configurations réalistes, cette limitation est trop restrictive. Le but du Chapitre 3 est d’étendre la formulation présentée au Chapitre 2 à des configurations multi-domaines, grâce au développement d’une stratégie de couplage élément de frontière-élément de frontière. Tout d’abord, la formulation BEM continue, adaptée à l’étude de la propagation d’ondes sismiques dans des structures géologiques complexes (irrégularités topographiques, bassins sédimentaires, . . .) est présentée dans la Section 3.2. Ensuite, la stratégie de couplage est présentée dans la Section 3.3. Cette méthode repose sur l’utilisation, de manière indépendante dans chaque sous-domaine homogène, de la méthode FMM présentée au Chapitre 2. La stratégie de couplage ne se réduit pas à la concaténation des équations intégrales de frontière dans chaque sous-domaine en un système global d’équations: l’interpolation des inconnues en déplacement étant linéaire et celle des inconnues en tractions constante, le système global ainsi obtenu serait surdéterminé. On propose alors d’effectuer des combinaisons linéaires judicieuses des équations intégrales de frontière. Différents détails sur la mise en œuvre efficace de cette méthode (choix des coefficients de pondération définissant les combinaisons linéaires, mise à l’échelle des équations, ordre des inconnues et orientation des normales) sont présentés dans la Section 3.4. Dans la Section 3.5, cette stratégie de couplage est validée sur un problème de propagation d’ondes planes dans un bassin sédimentaire, pour lequel une solution de référence est disponible dans la littérature. Des calculs à plus hautes fréquences ont pu être effectués grâce à ce nouveau solveur. De plus, il est montré dans la Section 3.6 que la méthode peut aussi être utilisée pour traiter des problèmes dans le domaine temporel, via l’utilisation d’une transformée de Fourier. Préconditionnement et autres améliorations de la formulation. Le solveur FM-BEM pour les équations de l’élastodynamique 3-D présenté dans les Chapitres 2 et 3 a déjà permis d’améliorer les performances de la BEM standard. Toutefois, la méthode peut encore être ameliorée. Dans le Chapitre 4, différents points qui peuvent augmenter les performances de la FM-BEM développée dans cette thèse, sont présentés. Tout d’abord, une méthode de préconditionnement est introduite afin de réduire le nombre d’itérations du solveur itératif et ainsi accélérer le temps de résolution. La méthode proposée (voir l’Algorithme 4.3) est basée sur l’utilisation de deux solveurs itératifs emboités. Le solveur extérieur est un GMRES flexible et le solveur intérieur, qui permet de calculer l’inverse du préconditionneur M, est un GMRES classique. La définition d’un préconditionneur efficace est une question cruciale mais délicate dans le cadre de la FMM car la matrice du système n’est jamais explicitement formée. On propose ici d’utiliser comme préconditionneur la seule matrice à notre disposition, la matrice des interactions prochesM = Knear. On montre que l’utilisation de ce préconditionneur réduit de manière significative le nombre d’itérations pour des problèmes de propagation d’ondes planes dans des canyons ou bassins sédimentaires. Ensuite, une méthode pour réduire le nombre nécessaire de moments multipôles est présentée dans la Section 4.2. Au lieu d’utiliser les coordonnées cartésiennes, l’idée est de reformuler les moments multipôles sur une base appropriée. Ainsi le nombre de moments multipôles requis est réduit de 8 à 6 et on espère que les coûts mémoire et temps CPU seront également réduits. Cette méthode n’est pas mise en œuvre au moment de la rédaction de cette thèse mais le sera prochainement. Pour terminer, dans la Section 4.3, une méthode pour formuler le développement multipôle de la solution fondamentale du demi-espace élastique est proposée. Le principal avantage de l’utilisation de la solution fondamentale du demi-espace élastique est que la condition de surface libre y est déjà incluse. Il n’est donc pas nécessaire de discrétiser la surface libre et on réduit ainsi le nombre de degrés de liberté. Toutefois, il n’existe pas actuellement de développement multipôle adapté à ces solutions fondamentales. Pour trouver un tel développement, on propose d’adapter une méthode utilisée par ailleurs [61, 100] pour la définition des méthodes multipôles basses fréquences, reposant sur une transformée de Fourier par rapport aux deux variables spatiales parallèles au plan de la surface libre. La transformée de Fourier de la solution fondamentale est ainsi formulée comme l’intégrale du produit d’une fonction de x et d’une fonction de y. La difficulté réside dans le calcul numérique de la transformée de Fourier inverse. On propose d’utiliser une méthode basée sur la décomposition en valeurs singulières, non encore mise en œuvre au moment de la rédaction de ce mémoire. Cette formulation devrait permettre d’améliorer de manière significative les capacités de la BEM accélérée par FMM appliquée aux milieux semi-infinis. PARTIE II : APPLICATION À LA PROPAGATION D’ONDES SISMIQUES La deuxième partie de ce mémoire est consacrée à l’application de cette nouvelle méthode pour l’étude de problèmes sismiques. Problèmes sismiques canoniques. Tout d’abord, dans le Chapitre 5, la méthode est appliquée à l’étude de la propagation et l’amplification d’ondes planes P et SV, d’incidence oblique, dans des canyons et bassins canoniques. Les exemples traités sont issus de notre contribution au projet de recherche ANR “Quantitative Seismic Hazard Assessment” (QSHA, http://qsha.unice.fr/) sous la forme d’une participation au développement d’outils numériques pour la simulation de la propagation des ondes sismiques. Plusieurs partenaires, possédant une expertise sur différentes méthodes numériques (méthode des éléments finis, méthode des différences finies, méthode des volumes finis, méthode des éléments spectrales, méthode des éléments discrets et méthode des éléments de frontière) étant impliqués dans le projet QSHA, une série de problèmes canoniques a été proposée à tous les participants afin de comparer la précision et les performances de toutes ces méthodes numériques. Au moment de la rédaction de cette thèse, les comparaisons ne sont pas encore disponibles. On a toutefois choisi de présenter nos résultats pour permettre des comparaisons. De plus, ce chapitre a permis de tester l’efficacité du préconditionneur présenté au Chapitre 4, en termes de réduction du nombre d’itérations pour les problèmes de propagation dans un canyon ou un bassin. Il est ainsi remarqué que même si le nombre d’itérations augmente toujours avec la fréquence, cette augmentation est beaucoup moins rapide si le préconditionneur proposé est utilisé (voir Figure 5.12 par exemple). Application sismique réaliste : étude d’une vallée Alpine. Tous les résultats présentés dans les chapitres précédents concernent des problèmes pour des géométries canoniques. Le but du Chapitre 6 est d’utiliser l’efficacité de la méthode pour traiter un problème plus réaliste. La propagation d’ondes planes dans une vallée alpine (Grenoble) est ainsi étudiée. Ce problème permet de mettre en avant le gain d’efficacité apporté par cette nouvelle formulation par rapport à la méthode BEM standard utilisée dans [64] pour traiter la même géométrie. Cet exemple a aussi permis de pointer une autre nécessité d’amélioration de la méthode pour traiter des problèmes réalistes. Ainsi, si il existe un fort contraste de vitesse entre deux couches en regard, le nombre de points par longueur d’onde est adapté au matériau le plus mou. Par conséquent, comme le maillage est conforme, l’interface est maillée beaucoup trop finement pour la couche la plus dure. Or, la FMM perd de son efficacité quand le maillage présente de fortes hétérogénéités de densité. Pour pouvoir traiter de manière efficace de grands problèmes sismiques réalistes, on pourrait par exemple développer une méthode stable à toutes fréquences [117, 164] (associant une FMM basses fréquences à la FMM hautes fréquences employée dans ce travail). Ceci permettrait d’utiliser des cellules plus petites et donc de conserver un nombre d’inconnues par cellule à peu près constant sans nuire à la précision. Une autre méthode peut consister en l’utilisation d’un maillage non-conforme, via le développement d’un couplage faible, pour les problèmes multi-régions à forts contrastes de propriétés. Conclusion et perspectives Conclusion. Dans ce mémoire la méthode multipôle rapide a été étendue avec succès aux équations de l’élastodynamique 3-D. Dans un premier temps, une méthode mono-domaine a été présentée. Pour pouvoir traiter des problèmes sismiques dans des milieux homogènes par couches, une méthode de couplage élément de frontière-élément de frontière a été développée. Une méthode de préconditionnement a également été mise en place pour augmenter les capacités de la méthode. La méthode présentée peut toutefois encore être améliorée. On a proposé dans ce but deux formulations à mettre en œuvre. Dans une deuxième partie, la méthode a été appliquée pour traiter des modèles canoniques et plus réalistes. On a ainsi montré qu’il est possible de traiter des problèmes comportant jusqu’à N = O(106) degrés de liberté pour des modèles canoniques mais qu’il reste nécessaire d’apporter quelques améliorations pour traiter des problèmes réalistes à haute fréquence. Perspectives. Cette première étude sur la méthode multipôle rapide pour les équations de l’élastodynamique 3-D, menée au LMS et au LCPC, a ouvert de nombreuses perspectives. On propose, par exemple, pour améliorer les capacités de la méthode d’essayer de la paralléliser ou d’étudier plus en détails les méthodes de préconditionnement. De plus, dans cette étude, seules les équations de l’élasticité sont traitées. On montre qu’il est possible d’étendre la méthode à l’étude des équations de la viscoélasticité. Une autre perspective est de coupler la méthode avec d’autres méthodes numériques ou bien de l’utiliser comme solveur direct pour résoudre des problèmes inverses. Annexes Le mémoire se termine avec cinq annexes qui donnent des détails sur : la mise en œuvre de la BEM standard, les champs d’ondes incidents, les fonctionnalités et l’utilisation du code développé, les fonctions spéciales. Pour terminer, la dernière annexe reprend un travail publié [42], effectué en parallèle de la thèse.
  • Éditeur: Marne la Vallée : Ecole nationale des ponts et chaussées
  • Date de publication: 2008
  • Format: 1. vol. ( 205 p.) : Figures, graphiques, tableaux
  • Langue: Anglais
  • Source: Mines ParisTech (catalogue)

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